ここでは、次のような３次不等式を証明する問題をみていきます。



「またややこしい問題が」と思われるかもしれませんが、次のことを覚えておきましょう。



どういうことかみていきましょう。


"x³＋２≧３x"を変形すると、"x³−３x＋２≧０"となります。つまりこの問題は、「x≧０の範囲で"x³−３x＋２≧０"が常に成り立つか証明しなさい」と同じ意味であるということです。

この証明をするには、"f(x)＝x³−３x＋２"のグラフがx≧０の範囲で常に"f(x)≧０"となるかを確認すればOKということになります。


では早速、"f(x)＝x³−３x＋２"のグラフを書いてみましょう。

f'(x)＝３x²−３＝３(x²−１)＝３(x＋１)(x−１)

なので、増減表は次のようになります。



グラフを作成し、x≧０の範囲を赤線でひいたのが次の図になります。



グラフから、x≧０における最小値は"０"(x＝１のとき)なので、このグラフはx≧０ではつねに、"f(x)≧０"であることがわかります。

このことから、x≧０のとき"x³−３x＋２≧０"つまり"x³＋２≧３x"が成り立つことが証明されました。


いかがでしたか。グラフが書ければ一発で求めることができますね。