２つの直線が垂直になる条件a1a2+b1b2=0の証明 / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

	２つの直線が垂直になる条件a1a2+b1b2=0の証明
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２つの直線が垂直に交わるとき

前回のテキストで、２つの直線が垂直に交わるとき、２つの直線の傾き $m_{1}$ 　と $m_{2}$ 　が
$m_{1} \times m_{2}=-1$ 　となることを学びました。

２直線が垂直であるかを確かめるには実はもう１通りの方法があります。
$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ 　…①
$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ 　…②

という２つの直線があったとき
$a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0$ 　…③
が成り立てば、①と②は垂直に交わります。

これを証明してみましょう。

証明

まず、①と②の式をそれぞれ変形させて
$y=-\frac{a _{1} }{b _{1} } x- \frac{c _{1} }{b _{1} }$
$y=-\frac{a _{2} }{b _{2} } x- \frac{c _{2} }{b _{2} }$

前回のテキストより、２つの直線が垂直に交わるためには、２直線の傾きの積が－１であればよかったですので、①と②が垂直に交わるためには
$\left(-\frac{a _{1} }{b _{1} }\right)\times \left(-\frac{a _{2} }{b _{2} }\right)=-1$

であればいいということになりますね。
この式を展開して整理すると
$a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0$
が成立することがわかります。

実例

例えば
$y=2x+1$ 　…③
$y=- \frac{1}{2} x+2$ 　…④
は、直線の傾きの積が－１になるので、垂直に交わります。
これを今回学習した定理で考えてみます。③と④を変形させると
$2x-y+1=0$
$x+2y-4=0$

これを今回の定理に当てはめると
$a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=2 \times 1+\left(-1\right) \times 2=0$
が成り立ちます。

どちらの方法でも、２直線が垂直に交わることがわかりましたね。

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