テストに出る！対数logの計算問題 / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-07-28
	テストに出る！対数logの計算問題
著作名：ふぇるまー 138,559 views

対数の計算

次の３つの対数の公式が頭に入っている状態でこのテキストは読んでください。

a＞０、a≠１、M＞０のとき

＜公式１＞
$\log _{a} MN= \log _{a} M+ \log _{a} N$

＜公式２＞
$\log _{a} \frac{M}{N} = \log _{a} M- \log _{a} N$

＜公式３＞
$\log _{a} M ^{n} =n \log _{a} M$

これらの公式を勉強しましたが、実際のテストには、この３つの公式が混ざった問題が出題されます。いくつか一緒に解いてみましょう。

問題１

$3 \log _{3} 3+ \log _{3} \frac{3}{4} + \log _{3} 12$

項を１つずつ紐解いていきましょう。

$\log _{3} 3=1$

なので、

$3 \log _{3} 3=3 \times 1=3$

と簡単にすることができます。

次に、２項目と３項目ですが、これは底の値が同じなので、

$\log _{a} MN= \log _{a} M+ \log _{a} N$

の公式を使って、

$\log _{3} \frac{3}{4} + \log _{3} 12= \log _{3} \left( \frac{3}{4} \times 12\right) = \log _{3} 9 =\log _{3} 3^{2} =2\log _{3} 3$

$\log _{a} a=1$

より、

$\log _{3} 3=1$

なので

$2 \log _{3} 3 =2$

以上から、与えられた式は、

３＋２＝５

となります。
すべて底が同じ対数の足し算なので、次のように計算することもできます。

$3 \log _{3} 3+ \log _{3} \frac{3}{4} + \log _{3} 12 = \log _{3} \left(3 ^{3} \times \frac{3}{4} \times 12\right) = \log _{3} 243$

$\log _{3} 243= \log _{3} 3 ^{5} =5$

公式１と公式３を使った問題でした。

問題２

$4 \log _{2} \sqrt{6} -2 \log _{2} 3$

見るからに難しそうな問題ですね。
これも臆せずに、１つずつ項を確認していきましょう。
まず１つ目の項です。

$\sqrt{6} =6 ^{ \frac{1}{2} }$

なので、

$4 \log _{2} \sqrt{6} =4 \log _{2} 6 ^{ \frac{1}{2} }$

ここで、公式３を用いて

$4 \log _{2} 6 ^{ \frac{1}{2} } = \log _{2} 6 ^{ \frac{1}{2} \times 4} = \log _{2} 6 ^{2}$

次に２つめの項です。公式３を用いて

$2 \log _{2} 3= \log _{2} 3 ^{2}$

以上から、与えられた式は

$\log _{2} 6 ^{2} - \log _{2} 3 ^{2}$

底がそろっている対数の引き算なので、公式２が使えます。

$\log _{2} 6 ^{2} - \log _{2} 3 ^{2} = \log _{2} \frac{6 ^{2} }{3 ^{2} }$

$\log _{2} \frac{6 ^{2} }{3 ^{2} } = \log _{2} \frac{36}{9} = \log _{2} 4 = \log _{2} 2 ^{2} =2\log _{2} 2$

$\log _{a} a=1$

より、

$2\log _{2} 2 =2$

公式２と公式３を使った問題でした。

問題を２つみてきましたが、さらにこの問題に底の変換公式が加わった問題などが出てきます。対数の計算をうまく解くコツは、対数で使う公式・性質を１つ１つしっかりとおさえておくことです。

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