"x²＋y²−４x−２y＋１＝０"を変形すると

x²＋y²−４x−２y＋１＝０
"x²−４x＋４−４＋y²−２y＋１−１＋１＝０"

平方の形が作れるように、赤の部分を式に追加します。
すると

(x−２)²＋(y−１)²−４＝０
(x−２)²＋(y−１)²＝２²

つまり"x²＋y²−４x−２y＋１＝０"は、点(２、１)を中心とする半径２の円だとわかります。このように"x²＋y²＋lx＋my＋n＝０"の形をした方程式は、変形して"(x−a)²＋(y−b)²＝r²"とすることで、どのような図形を表すかを調べることができます。





"x²＋y²＋２x−６y−６＝０"を平方を含む形に変形します。

x²＋y²＋２x−６y−６＝０
x²＋２x＋１−１＋y²−６y＋９−９−６＝０
(x＋１)²＋(y−３)²−１６＝０
(x＋１)²＋(y−３)²＝４²

以上から"x²＋y²＋２x−６y−６＝０"は点(−１，３)を中心とする半径４の円


"x²＋y²＋２x−６y＋１０＝０"を平方を含む形に変形します。

x²＋y²＋２x−６y＋１０＝０
x²＋２x＋１−１＋y²−６y＋９−９＋１０＝０
(x＋１)²＋(y−３)²＝０

あれ、半径が０となってしまいました。
このような場合は、中心の点の値をみて、点(−１，３)を表すとします。