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因数分解の解き方[工夫をして因数分解を解く練習問題] |
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著作名：
ふぇるまー
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工夫をして因数分解を行う問題
式を因数分解するときに、ちょっと工夫をすることで楽に因数分解ができるようになります。練習問題を解きながら、楽に因数分解ができる方法を身につけていきましょう。
練習問題
問題 次の式を因数分解せよ
（１） ｘ²－９ｙ²＋６ｘ＋９
（２） (ｘ－ｙ)(ｘ－ｙ－３)ー４
（３） ｘ⁴－１６
（１） ｘ²－９ｙ²＋６ｘ＋９
（２） (ｘ－ｙ)(ｘ－ｙ－３)ー４
（３） ｘ⁴－１６
■(１) ｘ²－９ｙ²＋６ｘ＋９
項を並び替えることで因数分解が簡単にできないか試してみます。
ｘ²－９ｙ²＋６ｘ＋９
＝ｘ²＋６ｘ＋９－９ｙ²
"ｘ²＋６ｘ＋９"の部分はうまく因数分解できそうですね。
"a²+2ab+b²=(a+b)²"の公式を用いて
ｘ²＋６ｘ＋９－９ｙ²
＝(ｘ＋３)²ー９ｙ²
続いて"(ｘ＋３)²ー９ｙ²"が因数分解できるかどうかを考えます。
"ｘ＋３"をひとくくりにしてＡと考えてみると、
(ｘ＋３)²－９ｙ²＝Ａ²－９ｙ²
どうやら"a²－b²=(a＋b)(a－b)"の公式が使えそうです。
Ａ²－９ｙ
＝(Ａ＋３ｙ)(Ａ－３ｙ)
あとはＡを"ｘ＋３"に置き換えて
(Ａ＋３ｙ)(Ａ－３ｙ)
＝(ｘ＋３＋３ｙ)(ｘ＋３－３ｙ)
＝(ｘ＋３ｙ＋３)(ｘ－３ｙ＋３)
２回、３回と因数分解する可能性があることを覚えておきましょう
■(２) (ｘ－ｙ)(ｘ－ｙ－３)－４
続いては、"ｘ－ｙ"を"Ａ"と置き換えて試してみます。
(ｘ－ｙ)(ｘ－ｙ－３)－４
＝Ａ（Ａ－３）－４
これだけでは因数分解は難しそうなので、一度展開してみましょう。
Ａ（Ａ－３）－４
＝Ａ²－３Ａ－４
"x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)"の考え方を用いて
Ａ²－３Ａ－４
＝(Ａ＋１)(Ａ－４)
＝(ｘ－ｙ＋１)(ｘ－ｙ－４)
因数分解するためには、１度展開をしてから因数分解するというパターンがあることを覚えておこう
■(３) ｘ⁴－１６
ｘ⁴－１６という形から、
"a²－b²=(a＋b)(a－b)"の公式が使えないかと考えます。
"ｘ⁴＝(ｘ²)²"、"１６＝４²"なので
ｘ⁴－１６
＝(ｘ²＋４)(ｘ²－４)
"(ｘ²－４)"は、さらに因数分解できそうですね。
(ｘ²＋４)(ｘ²－４)
＝(ｘ²＋４)(ｘ＋２)(ｘ－２)
[別解]
ｘ²を"Ａ"と置き換えて解く方法もあります。
ｘ²をＡとしたとき
ｘ⁴－１６＝Ａ²－１６
"a²－b²=(a＋b)(a－b)"の公式より
Ａ²－１６
＝(Ａ＋４)(Ａ－４)
Ａをｘ²に置き換えて
(Ａ＋４)(Ａ－４)
＝(ｘ²＋４)(ｘ²－４)
＝(ｘ²＋４)(ｘ＋２)(ｘ－２)
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