グラフの凹凸と変曲点を求める問題 / 数学III by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	グラフの凹凸と変曲点を求める問題
著作名： OKボーイ 50,315 views

変曲点とは

ｙ＝ｆ（ｘ）において、この曲線上の点Ａ（ａ、ｆ（ａ））を境界に、曲線の凹凸の状態が変化するとき、この点Ａのことをｙ＝ｆ（ｘ）の曲線の変曲点と言います。そしてこのとき「ｆ”（ａ）＝０」が成り立ちますので併せて覚えておきましょう。

逆に「ｆ”（ａ）＝０」であれば点Ａ（ａ、ｆ（ａ））が変曲点かと言えばそうではありませんので注意しておきましょう。

問題

$y=x ^{4} +2x ^{3} +1$ のグラフの凹凸と変曲点を求めてみましょう

まずｙ”を求めます。
$y=4x ^{3} +6x ^{2}$
$y"=12x ^{2} +12x ^{} =12x \left(x+1\right)$

ｐ（ｘ）＝１２ｘ（ｘ＋１）として符号を調べると

■ｘ＝－１、０のときにｐ（ｘ）＝０

■－１＜ｘ＜０のときにｐ（ｘ）＜０

■ｘ＜－１、０＜ｘのときにｐ（ｘ）＞０

これらのことから
この曲線は－１＜ｘ＜０のときに上に凸、ｘ＜－１、０＜ｘのときに下に凸のグラフを描きます。

変曲点は、ｘ＝－１とｘ＝０のとき、すなわち
（－１、０）と（０、０）になります。

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