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13_80 場合の数と確率 / 場合の数/順列/組合せ

約数の総和の求め方・公式

著者名: ふぇるまー
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約数の総和の求め方

ここでは、約数の総和の求め方について説明していきます。

<問題>
整数20の約数の総和を求めなさい。


まず、約数の総和とは何なのかを理解しなくてはいけません。20の約数の総和とは、20の約数である{1,2,4,5,10,20}を全部足したものを指します。

今回の問題では、約数が6個だけなので、すべて書き出して足すことができましたが、約数の数が仮に50個、100個あったときにすべての約数を書き出すわけにはいきませんので、計算で求められる方法を身につけておきましょう。

約数の総和を求める公式

約数の総和を求めるためには公式があります。

整数を素因数分解して



と表すことができるときに、その約数の総和は、



となる


ですが、これだけだと頭に入ってこないという人も多いでしょうから、この公式と照らしあわせて一緒に問題を解いてみましょう。3ステップで解いていきます。

ステップ1:素因数分解する

まず、与えられた整数を素因数分解します。

20の素因数は2と5なので

20=2²×5

と表すことができます。

※1は素因数でないことに注意しましょう。

ステップ2:すべての約数が素因数で表せられることを理解する

次に、20の約数{1,2,4,5,10,20}を素因数の形で表してみましょう。

 1=2⁰・5⁰
 2=2¹・5⁰
 4=2²・5⁰
 5=2⁰・5¹
10=2¹・5¹
20=2²・5¹

"20=2²・5¹"であることから、20の約数は、2を"0〜2"回掛けあわせたものと、5を"0〜1"回掛けあわせたものの組み合わせで表すことができる、これに気がつけるかどうかが肝です。


ステップ3:約数の総和を求める

20の約数は、{1,2,4,5,10,20}なので、これらを足しあわせてみましょう。

1+2+4+5+10+20

これをステップ2の数字で置き換えてみます。

(2⁰・5⁰)+(2¹・5⁰)+(2²・5⁰)+(2⁰・5¹)+(2¹・5¹)+(2²・5¹) ー①

これをさらに変形すると、

(2⁰+2¹+2²)(5⁰+5¹) ー②

②式を展開すると①式になります。そして②式は、公式そのものですね。②の計算式を解くと、

 (2⁰+2¹+2²)(5⁰+5¹)
=(1+2+4)(1+5)
=7×6
=42

実際にすべての約数を足してみても

1+2+4+5+10+20=42

となるので、答えと求め方が正しいということがわかります。

それでは練習問題を通して、約数の個数の求め方について慣れていきましょう。

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・約数の総和の求め方・公式

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2013 数学A 数研出版
2013 数学A 東京書籍

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