前回は数学的帰納法という証明方法について説明をしましたね。

数学的帰納法の基本的な考え方①

今回はその続きです。

この問題の解法を示しましょう。
考え方については前回のテキストを参照してください。


ｎ＝１のとき①の左辺は、


一方で①の右辺は、


よって①が成り立つことがわかります。


ｎ＝ｍのとき①が成り立つと仮定します。つまり

が成り立つと仮定します。

このうえで、ｎ＝ｍ＋１のときに①が成り立つかどうかを証明します。つまり

が成り立つかどうかを証明するわけですね。この式を③としておきます。



②より、　

なので



となり、③の右辺と同じになりましたね。
以上のことから、ｎ＝ｍのときに①が成り立つと仮定すると、ｎ＝ｍ＋１のときにも①が成り立つことがわかりました。
数学的帰納法からすべての自然数ｎについて①が成り立つことが証明されたことになります。