１つの解から高次方程式の係数を求める / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	１つの解から高次方程式の係数を求める
著作名： OKボーイ 20,030 views

１つの解から３次方程式の係数を求める

$x^{3}-4x^{2}+ax+b=0$ 　の式で解が１つだけわかっています。
$x=1+3i$
このときａとｂの値、そしてもう２つの解を求めてみましょう。

とりあえず、 $x=1+3i$ 　を式に代入してみます。

$\left(1+3i \right)^{3} -4\left(1+3i \right)^{2}+a\left(1+3i \right)+b=0$
展開して複素数を含むものとそうでないものにわけます。
$a+b+6+i \left(3a-42 \right)i=0$

ここで複素数の性質を思い出してください。
$a+bi=0$ 　のとき　 $a=0$ 、 $b=0$ 　が成り立つんでしたね。
これを先ほどの式にも応用します。

$a+b+6+i \left(3a-42 \right)i=0$ 　なので
$a+b+6+i=0$
$\left(3a-42 \right)=0$

が成り立ちます。この連立式を解くと
$a=14$ 、 $b=-20$ 　となります。

ではこれをもとの式に代入して、あとはこの方程式の解を求めましょう。
$x^{3}-4x^{2}+14x-20=0$
$P\left(x \right)=x^{3}-4x^{2}+14x-20$ 　としたときに $P\left(2 \right)=0$ 　となることから、この式はｘ－２を因数にもちます。

$x^{3}-4x^{2}+14x-20=\left(x-2\right) \left(x^{2}-2x+10\right)=0$
あとは、 $x-2=0$ …①、 $x^{2}-2x+10=0$ 　…②　を解くだけですね。

①より $x=1$
②には解の公式をあてはめて
$x=- \frac{-2}{2} \pm \frac{ \sqrt{4-4 \cdot 10} }{2} =1 \pm \frac{ \sqrt{36} i}{2}$
よって　 $x=1 \pm 3i$

これらが、この方程式の解となります。

複素数の性質、ここを思い出せるかが勝負の鍵ですね。

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