ここでは、次の４つの絶対値の性質を証明しています。

xを実数とするとき
・｜x｜≧０
・｜x｜≧x
・｜x｜≧−x
・｜x｜²＝x²


x≧０、x＜０の２通りにわけて考えます。


x≧０のとき、どんな実数でも

｜x｜＝x

となります。"x≧０"なので、

｜x｜＝x≧０　・・・①

が成り立ちます。


x＜０のとき、どんな実数でも

｜x｜＝−x

となります。"x＜０"なので、−xはプラスですね。
このことから、

｜x｜＝−x＞０　・・・②

が成り立ちます。①と②をあわせて、どんな実数xについても"｜x｜≧０"が成り立つことがわかりました。



x≧０、x＜０の２通りにわけて考えます。


x≧０のとき、どんな実数でも

｜x｜＝x　・・・①

"｜x｜≧x"の等号が成り立っているので、x≧０のとき"｜x｜≧x"が成り立つといえます。


x＜０のとき、どんな実数でも

｜x｜＝−x

となります。x＜０なので、"−x＞０"ですね。このことから、

｜x｜＝−x＞０　・・・②

①と②をあわせて、どんな実数xについても"｜x｜≧x"が成り立つことがわかりました。


x≧０、x＜０の２通りにわけて考えます。


x≧０のとき、どんな実数でも

｜x｜＝x

となりますが、x≧０のときは必ず、"x≧−x"となりますよね。
よって

｜x｜＝x≧−x　・・・①


x＜０のとき、どんな実数でも

｜x｜＝−x　・・・②

となります。"｜x｜≧−x"の等号が成り立っているので、x＜０のとき"｜x｜≧−x"が成り立つといえます。

①と②をあわせて、どんな実数xについても"｜x｜≧−x"が成り立つことがわかりました。



x≧０、x＜０の２通りにわけて考えます。


x≧０のとき、どんな実数でも

｜x｜＝x

となるので、両辺を２乗してもその等式は成り立ちます。

｜x｜²＝x²


x＜０のとき、どんな実数でも

｜x｜＝−x

となります。両辺を２乗すると、

｜x｜²＝(−x)²＝x²

以上から、どんな実数xについても"｜x｜²＝x²"が成り立つことがわかりました。