ド・モアブルの定理を使って問題を解いてみましょう。 / 数学III by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2013-04-18
	ド・モアブルの定理を使って問題を解いてみましょう。
著作名： OKボーイ 23,436 views

問題

θ＝１５°のとき、 $\frac {\left(cos \theta+isin \theta \right)\left(cos 7\theta+sin 7\theta \right)}{cos5\theta+sin5\theta}$ 　の値を求めなさい。

ド・モアブルの定理

ここで、ド・モアブルの定理を思い出してみましょう。
$\left(cos \theta+i sin \theta \right)^{n}=cos n\theta+i sin n\theta$ 　でしたね。
つまり、設問において　
$cos 7\theta+sin 7\theta=\left(cos \theta+isin \theta \right)^{7}$
$cos 5\theta+sin 5\theta=\left(cos \theta+isin \theta \right)^{5}$

となります。よって設問の問題を書き換えると
$\frac {\left(cos \theta+isin \theta \right)\left(cos 7\theta+sin 7\theta \right)}{cos5\theta+sin5\theta}$
= $\frac {\left(cos \theta+isin \theta \right)\left(cos \theta+isin \theta \right)^{7}}{\left(cos \theta+isin \theta \right)^{5}}$
$=\frac {\left(cos \theta+isin \theta \right)^{8}}{\left(cos \theta+isin \theta \right)^{5}}$
$=\left(cos \theta+isin \theta \right)^{3}$

ここでもう１度、ド・モアブルの定理を使います。
$\left(cos \theta+isin \theta \right)^{3}$
$=cos 3\theta+i sin 3\theta$

θ＝１５°でしたので、これを代入して
$=cos 3\theta+i sin 3\theta$
$=cos 45 +i sin 45$
$= \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{2} } i$
$= \frac{ \sqrt{2} \left(1+i\right) }{2}$

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