平面上の点の運動～速度と加速度～ / 数学III by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	平面上の点の運動～速度と加速度～
著作名： OKボーイ 44,366 views

平面上を移動する点の速度と加速度

平面上を移動する点Ａの、時刻ｔにおける座標を（ｘ、ｙ）とします。このとき点Ａにおいて、
時刻ｔにおける速度　 $\vec{v}$ 　その大きさを $| \vec{v} |$
時刻ｔにおける加速度　 $\vec{ \alpha }$ 　その大きさを　 $|\vec{ \alpha }|$
以上のように定めたとき、これらの値は以下の公式によって求めることができます。
$\vec{v} = \left( \frac{dx}{dt} , \frac{dy}{dt} \right)$
$\vec{ \alpha } = \left( \frac{d ^{2} x}{dt ^{2} } , \frac{d ^{2} y}{dt ^{2} } \right)$
$| \vec{v} |= \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right) ^{2} + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^{2} }$
$| \vec{ \alpha } |= \sqrt{ \left( \frac{d ^{2} x}{dt ^{2} } \right) ^{2} + \left( \frac{d ^{2} y}{dt ^{2} } \right) ^{2} }$

問題

ｘｙ＝９上を動く点Ａから、ｙ軸上に垂線ＡＢを引きます。Ｂがｙ軸上を毎秒３の速度で動くようにＡは動きます。Ａが（３、３）を通過するときの速度と加速度を求めてみましょう。

速度

まず、ｘとｙはｔについての関数であることからｘｙ＝９をｔについて微分してみます。すると
$\frac{dx}{dt} \cdot y+x \cdot \frac{dy}{dt} =0$

また、設問より速度が３なので
$v= \frac{dy}{dt} =3$ 　…①
（※数直線場を動く点の速度の公式でしたね。）

①を代入して
$\frac{dx}{dt} \cdot y+3x=0$ 　…②

ｘｙ＝９なので、ｘ＝３、ｙ＝３を②に代入しみます。
$\frac{dx}{dt} \cdot 3+9=0$
$\frac{dx}{dt} =-3$ 　…③

このことから速度は
$\vec{v} = \left( \frac{dx}{dt} , \frac{dy}{dt} \right) = \left(-3,3\right)$

加速度

次に、先ほど求めた①と②の両辺をｔについて微分してみます（第２次導関数を求めます。）

①より　 $\frac{d ^{2} y}{dt ^{2} } =0$
②より $\frac{d ^{2} x}{dt ^{2} } \cdot y+ \frac{dx}{dt} \cdot \frac{dy}{dt} +3 \frac{dx}{dt} =0$ 　…④

Ａが（３、３）を通過するときの速度を求めるので「ｙ＝３」、そして①と③を④に代入します。

$3 \frac{d ^{2} x}{dt ^{2} } +3 \cdot \left(-3\right) +3 \cdot \left(-3\right) =0$
$3 \frac{d ^{2} x}{dt ^{2} } -9-9=0$
$\frac{d ^{2} x}{dt ^{2} } =6$

よって点Ａの加速度は
$\vec{ \alpha } = \left( \frac{d ^{2} x}{dt ^{2} } , \frac{d ^{2} y}{dt ^{2} } \right) = \left(6,0\right)$

となります。
計算がややこしいかもしれませんが、今までやってきたことの積み重ねです。
ここでつまづいた人は、どの箇所がわかっていないのかを自分で分析してみましょう。

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