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12_80 図形と計量 / 三角形/多角形の面積・内接円/外接円・空間図形

サイン(sin)を使った三角形の面積を求める公式とその証明

著者名: ふぇるまー
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三角形の面積を求める公式

三角形の面積を求める公式といえば「底辺×高さ÷2」を思い出しますが、ここでは「サインを使って三角形の面積を求める公式」を紹介します。

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図のような△ABCの面積をSとしたとき



公式の証明

ではこの公式を証明していきましょう。

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図のようにAから辺BCに垂線をおろし、その交点をHとします。△ABHにおいて、



これを整理すると

AH=c sinB ー①

このAHは何かというと、△ABCの高さですね。三角形の高さがわかったので、三角形の面積を求める公式「底辺×高さ÷2」より△ABCの面積Sは

S=BC×AH÷2

"BC=a"、①より"AH=c sinB"なのでこれを代入すると

"S=a×c sinB÷2"、つまり



が成り立つことがわかります。
∠Aと∠Cにおいても同様にして公式を導くことができます。


以上から、サインを用いて三角形の面積を求める公式が証明できました。


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2013 数学Ⅰ 東京書籍
2013 数学Ⅰ 数研出版

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