三角関数の性質[θ＋π/2の角の公式の証明] / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-06-17
	三角関数の性質[θ＋π/2の角の公式の証明]
著作名：ふぇるまー 35,128 views

θ＋π/2の三角関数の公式

次の公式を証明していきます。

$\sin \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) = \cos \theta$
$\cos \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) =- \sin \theta$
$\tan \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) =- \frac{1}{ \tan \theta }$

図のように座標上に△POAをとり、∠POA＝θ、OP＝１とします。
△POAを、原点中心に"π/2"だけ回転させた三角形を△QOBとします。

イメージしにくい人は、"π/2"を度数法で考えてみてください。"π/2"は、度数法では"９０°"です。つまり△POAを９０°回転させた三角形を△QOBとするということです。

"∠QOA＝θ＋π/2"であることをおさえておきましょう。

このとき、△POAと△QOBは合同なので、Pの座標をP(x，y)としたら、Qの座標はQ(−y，x)となります。このとき△POAにおいて、

$\sin \theta = \frac{PA}{OP} =y$ 　−①
$\cos \theta = \frac{OA}{OP} =x$ 　−②
$\tan \theta = \frac{PA}{OA} = \frac{y}{x}$ 　−③

△QOBにおいて、

$\sin \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) = \frac{QC}{OQ} =x$ 　−④
$\cos \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) = \frac{OC}{OQ} =-y$ 　−⑤
$\tan \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) = \frac{QC}{OC} =- \frac{x}{y}$ 　−⑥

①と⑤より
$\cos \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) =- \sin \theta$

②と④より
$\sin \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) = \cos \theta$

③と⑥より
$\tan \left( \theta + \frac{ \pi }{2} \right) =- \frac{1}{ \tan \theta }$

以上のことから、公式が成り立つことが証明されました。

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