分子と分母に分数を含む式の計算[分数式] / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-02-14
	分子と分母に分数を含む式の計算[分数式]
著作名：ふぇるまー 53,240 views

分母に分数を含む式

ここでは、分子と分母に分数を含む式の計算のしかたについてみていきましょう。

次の式を簡単にしなさい
$\frac{ \left( \frac{x}{x+1} \right) }{ \left( \frac{x}{x+1} \right) }$

<ポイント>
難しい分数式を考える前に、簡単な分数を例に考えてみましょう。

$\frac{ \left( \frac{1}{2} \right) }{ \left( \frac{1}{2} \right) }$

この分数式について考えてみます。
そもそも分数A/Bとは、"A÷B"を簡単にまとめたものでしたね。このことから

$\frac{ \left( \frac{1}{2} \right) }{ \left( \frac{1}{2} \right) } = \frac{1}{2} \div \frac{1}{2}$

であることがわかります。あとはこの式を計算すると

$\frac{1}{2} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{1} =1$

設問の問題も、これと同じ考え方で計算ができます。

$\frac{ \left( \frac{x}{x+1} \right) }{ \left( \frac{x}{x+1} \right) } = \frac{x}{x+1} \div \frac{x}{x+1}$

ここまで変形ができれば、あとは分数式の割り算をするだけですね。

$\frac{x}{x+1} \div \frac{x}{x+1} = \frac{x}{x+1} \times \frac{x+1}{x} =1$

練習問題

次の式を簡単にしなさい
$\frac{ \left(1- \frac{a+b}{a-b} \right) }{ \left(1+ \frac{a+b}{a-b} \right) }$

まず分子と分母の分数を通分します。
$1- \frac{a+b}{a-b} = \frac{a-b-a-b}{a-b} = \frac{-2b}{a-b}$

$1+ \frac{a+b}{a-b} = \frac{a-b+a+b}{a-b} = \frac{2a}{a-b}$

なので、設問の式は次のように変形できます。

$\frac{ \left(1- \frac{a+b}{a-b} \right) }{ \left(1- \frac{a+b}{a-b} \right) } = \frac{ \left( \frac{-2b}{a-b} \right) }{ \left( \frac{2a}{a-b} \right) }$

先ほどと同じように、
$\frac{ \left( \frac{-2b}{a-b} \right) }{ \left( \frac{2a}{a-b} \right) } = \frac{-2b}{a-b} \div \frac{2a}{a-b}$

あとは分数式の割り算をするだけですね。

$\frac{-2b}{a-b} \div \frac{2a}{a-b} = \frac{-2b}{a-b} \times \frac{a-b}{2a} =- \frac{b}{a}$

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