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最も次数の低い項で整理してから行う因数分解の練習問題 |
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著作名:
ふぇるまー
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"a³+a²b-ac²-bc²"のように、2つ以上の文字を含む式を因数分解する場合、次数が最も低い文字について整理をすることで、因数分解がしやすくなる場合があります。
試しに"a³+a²b-ac²-bc²"を因数分解してみましょう。
"a³+a²b-ac²-bc²"で次数が最も低いのはbについて整理した場合です。
a³+a²b-ac²-bc²=b(a²-c²)+a³-ac²
続いて、定数項をもっとスマートにできないか考えます。
どうやら、aでくくり出せそうですね。
b(a²-c²)+a³-ac²=b(a²-c²)+a(a²-c²)
お!"(a²-c²)"という共通因数が見つかりました。
b(a²-c²)+a(a²-c²)=(a²-c²)(a+b)
まだこれで終わりではありません。"a²-c²"がまだ因数分解できますね。"a²-b²=(a+b)(a-b)"の公式より
(a²-c²)(a+b)=(a+b)(a+c)(a-c)
問題 次の式を因数分解せよ
(1) x³-2x²y+x²-xy+y
(1) x³-2x²y+x²-xy+y
x、yと文字が2つあるので、次数の低いyに着目をして整理していきます。
x³-2x²y+x²-xy+y=y(-2x²-x+1)+x³+x²
"y(-2x²-x+1)"を"-y(2x²+x-1)"に変形させ、定数項の"x³+x²"を"x²"でくくり出して"x²(x+1)"とします。すると
y(-2x²-x+1)+x³+x²=x²(x+1)-y(2x²+x-1)
"(2x²+x-1)"が因数分解できそうですね。
"(2x²+x-1)=(2x-1)(x+1)"より
x²(x+1)-y(2x²+x-1)
=x²(x+1)-y(2x-1)(x+1)
={x²-y(2x-1)}(x+1)
=(x²-2xy+y)(x+1)
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