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チェバの定理の証明(点Oが三角形の中にあるとき) |
著作名:
となりがトトロ
33,904 views |
三角形の外心の性質
△ABCの中でも外でも良いので、任意の点Oをとる。点ABCとOとをそれぞれ結ぶ線が向かい合う辺と点P,Q、Rで交わるとき
このテキストでは、この定理を証明します。
証明
チェバの定理を証明する前に、次の性質を知っておく必要がある。
まずはこの証明を行う。
次の図のように、点Bと点CからAPもしくはその延長線上に垂線をおろし、APとの交点をそれぞれQ、Rとする。
このとき△OABの面積は、
OA×BQ÷2 -①
同様にして、三角OACの面積は
OA×CR÷2 -②
①と②から、
△OAB:△OAC=BQ:CR -③
であることがわかった。次に、BQ//CRであることに着目する。
BQ//CRより、BP:PC=BQ:CR -④
③と④より
△OAB:△OAC=BP:PCつまり
となる。ではこれを利用してチェバの定理を証明していく。
△OABと△OACにおいて、先ほど求めた定理を使って
△OBCと△OBAにおいて、同様にして
△OACと△OBCにおいて、同様にして
よって
が成り立つことがわかる。
証明おわり。
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