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微分を使って接線の方程式を求める問題(接点の座標がわからない) |
著作名:
ふぇるまー
56,018 views |
微分を用いて接線を求める
ここでは、微分を用いて接線の方程式を求める問題の中でも、接点の座標がわかっていない場合について解説していきます。このテキストを読む前に、微分を使って接線の方程式を求める問題(接点の座標がわかっている)をしっかりと理解しておいてください。
点A(3、9)から"y=x²"に引いた接線の方程式を求めなさい。
ポイント
前回のテキストの問題と比較してみましょう。前回のテキストの問題は、
"y=x²"上の点(2、4)における接線の方程式を求めなさい。
でした。この2つの大きな違いは、接点の座標がわかっているかいないかです。今回の問題は接点の座標がわからない問題です。
接点の座標がわからない場合はどうすればよいのか。それは
自分で接点のx座標を"a"と決めちゃう
このことを頭に、問題を解いていきましょう。
解答
"y=x²"上の接点のx座標を"a"とすると、y座標は"(a、a²)"となります。この条件で、微分を使って接線の方程式を求める問題(接点の座標がわかっている)と同じように接線の方程式を求めていきます。
"y=x²"を微分すると"y=2x"なので、点"(a、a²)"を通る接線の傾きは、
2×a=2a
となります。つまり求める接線は、傾きが"2a"で(a、a²)で接する直線となります。
y−a²=2a(x−a)
y=2ax−2a²+a²
y=2ax−a² ー①
この直線が(3、9)を通るときのaの値は、
9=6a−a²
a²−6a+9=0
(a−3)²=0
a=3 ー②
①に②を代入して
y=6x−9
これが、求める接線の方程式となります。
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う~ん・・・
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