ここでは、微分を用いて接線の方程式を求める問題の中でも、接点の座標がわかっていない場合について解説していきます。このテキストを読む前に、微分を使って接線の方程式を求める問題(接点の座標がわかっている)をしっかりと理解しておいてください。




前回のテキストの問題と比較してみましょう。前回のテキストの問題は、



でした。この２つの大きな違いは、接点の座標がわかっているかいないかです。今回の問題は接点の座標がわからない問題です。

接点の座標がわからない場合はどうすればよいのか。それは



このことを頭に、問題を解いていきましょう。


"y＝x²"上の接点のx座標を"a"とすると、y座標は"(a、a²)"となります。この条件で、微分を使って接線の方程式を求める問題(接点の座標がわかっている)と同じように接線の方程式を求めていきます。

"y＝x²"を微分すると"y＝２x"なので、点"(a、a²)"を通る接線の傾きは、

２×a＝２a

となります。つまり求める接線は、傾きが"２a"で(a、a²)で接する直線となります。

y−a²＝２a(x−a)
y＝２ax−２a²＋a²
y＝２ax−a²　ー①

この直線が(３、９)を通るときのaの値は、

９＝６a−a²
a²−６a＋９＝０
(a−３)²＝０
a＝３　ー②

①に②を代入して

y＝６x−９

これが、求める接線の方程式となります。