図のような直角三角形があるとき、a²+b²=c²となるのが三平方の定理でした。では、なぜそうなるのかを証明してみましょう。





図のように、正方形ABCDの中に、正方形EFGHが入っています。また、△AEH、△DHG、△CGF、△BFEは合同な三角形で、それぞれの辺の長さがa、b、cとなっています。

このとき正方形ABCDの面積は、

(a+b)×(a+b)=(a+b)²=a²+2ab+b²　
－①

と表せます。また、
正方形ABCD＝△AEH＋△DHG＋△CGF＋△BFE＋正方形EFGH

でもあるので、次のように表すこともできます。

1/2×a×b+1/2×a×b+1/2×a×b+1/2×a×b+c×c=2ab+c²　
－②

①と②の面積が等しいことから①＝②が成り立ちます。

a²+2ab+b²=2ab+c²

この式を整理するとa²+b²=c²が求まりますね。