関数の商の導関数の公式の証明 / 数学III by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	関数の商の導関数の公式の証明
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商の導関数の証明

２つの関数ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）が微分可能であるとき、次の公式が成り立ちました。

｛ｆ（ｘ）÷ｇ（ｘ）｝’＝｛ｆ’（ｘ）ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｇ’（ｘ）｝÷ｇ（ｘ）ｇ（ｘ）

商の導関数の公式です。今回はこれを証明してみましょう。

証明

左辺
$=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \times \left( \frac{f \left(x+h\right) -f \left(x\right) }{h} - \frac{f \left(x\right) }{g \left(x\right) } \right)$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f \left(x+h\right) g \left(x\right) -f \left(x\right) g \left(x+h\right) }{hg \left(x+h\right) g \left(x\right) }$
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f \left(x+h\right) g \left(x\right) -f \left(x\right) g \left(x\right) }{hg \left(x+h\right) g \left(x\right) }$ $+ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f \left(x\right) g \left(x\right) -f \left(x\right) g \left(x+h\right) }{hg \left(x+h\right) g \left(x\right) }$

※便宜的にｆ（ｘ）ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）を加えています。
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g \left(x\right) \left(f \left(x+h\right) -f \left(x\right) \right) }{hg \left(x+h\right) g \left(x\right) }$ $- \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f \left(x\right) \left(g \left(x+h\right) -g \left(x\right) \right) }{hg \left(x+h\right) g \left(x\right) }$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f \left(x+h\right) -f \left(x\right) }{h} \times \frac{g \left(x\right) }{g \left(x+h\right) g \left(x\right) }$ $- \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g \left(x+h\right) -g \left(x\right) }{h} \times \frac{f \left(x\right) }{g \left(x+h\right) g \left(x\right) }$ 　…①

ここで、設問からｆ（ｘ）とｇ（ｘ）が微分可能であることを思い出してください。つまり
$\acute{f} \left(x\right) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f \left(x+h\right) -f \left(x\right) }{h}$ 　…②
$\acute{g} \left(x\right) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g \left(x+h\right) -g \left(x\right) }{h}$ 　…③

②と③を①に代入します。すると
$\acute{f} \left(x\right) \times \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g \left(x\right) }{g \left(x+h\right) g \left(x\right) }$ $-\acute{g} \left(x\right) \times \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f \left(x\right) }{g \left(x+h\right) g \left(x\right) }$

$g \left(x\right) = \lim_{h \rightarrow 0} g \left(x+h\right)$ 　
より
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{g \left(x+h\right) g \left(x\right) } = \frac{1}{g \left(x\right) g \left(x\right) }$
よって
$= \frac{\acute{f} \left(x\right) g \left(x\right) -\acute{g} \left(x\right) f \left(x\right) }{g \left(x\right) g \left(x\right) }$

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