Σを展開してみよう / 数学B by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2013-05-17
	Σを展開してみよう
著作名： OKボーイ 84,367 views

Σの入った式を展開してみましょう。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left(k-1\right) \left(k ^{2} +k+1\right)$

解き方のヒント　その１

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left(k-1\right) \left(k ^{2} +k+1\right)$ 　を展開して

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k ^{3} ,\sum_{k=1}^{n} k ^{2} ,\sum_{k=1}^{n} k ^{}$ 　の形をつくる

解答

まず $\left(k-1\right) \left(k ^{2} +k+1\right)$ 　を展開してみます。

$\left(k-1\right) \left(k ^{2} +k+1\right) =k^{3}-1$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left(k-1\right) \left(k ^{2} +k+1\right)$
$= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k ^{3} -1$
$= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k ^{3} - \displaystyle\sum_{k=1}^{n}1$

■解き方のヒント　その２

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k ^{3}$ 　　には展開の公式を適用
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1 =n$

解答の続き

Σの展開の公式を使って、先程の式は以下のように展開できます。
$=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k ^{3} - \displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1$
$= \left( \frac{1}{2} n \left(n+1\right) \right) ^{2} -n$
$= \frac{1}{4} n ^{2} \left(n+1\right) ^{2} -n$
$= \frac{1}{4} n \left(n ^{3} +2n ^{2} +n-4\right)$

答えに因数があれば、前にくくり出すようにします。

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