グラフがｘ軸に接する場合
問題
２次関数"ｙ＝２x²＋４x−m"が、ｘ軸と接するとき、定数ｍの値を求めなさい。またそのときの接点の座標を求めなさい。
ポイント
２次関数がｘ軸と接するための条件は何だったかを思い出す。
解法
■ｍの値を求める
「グラフがx軸と接する」状態をグラフにしてみましょう。すべての数値がわかっているわけではないので、なんとなくの概念図でＯＫです。
では"y＝２x²＋４x−m"のグラフが
x軸と接するための条件を思い出しましょう。そう、"２x²＋４x−m＝０"としたときの判別式DがD＝０の場合ですね。
D＝b²−４acなので、a＝２、b＝４、c＝－ｍを代入すると
(４)²－４・２・(－ｍ)＝１６＋８ｍ
Ｄ＝０なので
１６＋８ｍ＝０
８ｍ＝－１６
ｍ＝－２
すなわち"m＝−２"のときに、２次関数"ｙ＝２x²＋４x−m"はｘ軸と接することになります。
■接点の座標を求める
まずは"ｍ＝－２"を"y＝２x²＋４x−m"に代入して、式を完成させましょう。
"y＝２x²＋４x＋２"
ｘ軸と接するということは、"ｙ＝０"となりますね。つまり、"２x²＋４x＋２＝０"を満たすｘの値が、グラフとｘ軸との接点のｘ座標の値となります。
２x²＋４x＋２＝０
x²＋２x＋１＝０
(ｘ＋１)²＝０
ｘ＝－１
以上のことから、ｘ軸と接する点の座標は(－１，０)となる。
または、
ｘ軸とが接する点はグラフの頂点に等しいので、グラフの頂点の座標を考えることで答えを求めることもできます。
"y＝２x²＋４x＋２"を
平方完成すると、"y＝２(ｘ＋１)²"なので、このグラフの頂点の座標は(－１，０)であることがわかる。
