分数式の除法[分数式の四則計算] / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-02-01
	分数式の除法[分数式の四則計算]
著作名：ふぇるまー 31,983 views

分数式の乗法

ここでは、分数式の割り算についてみていきましょう。

次の式を計算しなさい
$\frac{x \left(x+3\right) }{ \left(x+1\right) \left(x+2\right) } \div \frac{x+3}{x+2}$

<ポイント>
分数式を考える前に、簡単な分数の割り算を例に考えてみましょう。

$\frac{4}{6} \div \frac{2}{3}$

この式を、ものすごく丁寧に解くと次のようになります。

$\frac{4}{6} \div \frac{2}{3} =\frac{4}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} \times \frac{3}{2}= \frac{2 \times 2 \times 3}{3 \times 2 \times 2} =1$

分数のかけ算との違いは、"÷2/3"をひっくり返して"×3/2"と計算する点だけでしたね。設問で与えられた式についても同じ考え方で計算ができます。

$\frac{x \left(x+3\right) }{ \left(x+1\right) \left(x+2\right) } \div \frac{x+3}{x+2}$

まず、÷の後ろの項をひっくり返して掛け算の式にします。

$\frac{x \left(x+3\right) }{ \left(x+1\right) \left(x+2\right) } \div \frac{x+3}{x+2} = \frac{x \left(x+3\right) }{ \left(x+1\right) \left(x+2\right) } \times \frac{x+2}{x+3}$

あとは、分数式の乗法を解くだけですね。

$\frac{x \left(x+3\right) }{ \left(x+1\right) \left(x+2\right) } \times \frac{x+2}{x+3} = \frac{x \left(x+3\right) \left(x+2\right)}{ \left(x+1\right) \left(x+2\right) \left(x+3\right) }$
$= \frac{x}{x+1}$

分数式の割り算は、分数の割り算と同じように考える

練習問題

次の式を計算しなさい
$\frac{x ^{2} +2x}{x ^{2} +5x+4} \div \frac{x ^{2} +5x+6}{x ^{2} +7x+12}$

まず、÷より後ろの項をひっくり返して掛け算の式にします。

$\frac{x ^{2} +2x}{x ^{2} +5x+4} \div \frac{x ^{2} +5x+6}{x ^{2} +7x+12} = \frac{x ^{2} +2x}{x ^{2} +5x+4} \times \frac{x ^{2} +7x+12}{x ^{2} +5x+6}$

あとは、分数式の乗法を解くだけですね。
分数式の掛け算は、次のようにするとうまく解けます。

分子と分母が多項式である場合はまず、因数分解をしてかけ算の式にまとめる

$\frac{x ^{2} +2x}{x ^{2} +5x+4} = \frac{x \left(x+2\right) }{ \left(x+1\right) \left(x+4\right) }$

$\frac{x ^{2} +7x+12}{x ^{2} +5x+6} =\frac{ \left(x+3\right) \left(x+4\right) }{ \left(x+2\right) \left(x+3\right) } =\frac{ \left(x+4\right) }{ \left(x+2\right) }$

よって
$\frac{x \left(x+2\right) }{ \left(x+1\right) \left(x+4\right) } \times \frac{ \left(x+4\right) }{ \left(x+2\right) }$
$= \frac{x \left(x+2\right) \left(x+4\right) }{ \left(x+1\right) \left(x+4\right) \left(x+2\right) }$
$= \frac{x}{x+1}$

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