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13_80 図形の性質(平面図形/空間図形) / 三角形の定理(中線定理/メネラウスの定理/チェバの定理)

チェバの定理の証明

著者名: OKボーイ
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チェバの定理とは

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チェバの定理とは、図のように△ABCがあったとしましょう。
△ABCの内部もしくは外部に点Oをとったとき、AからOを通る直線とBCとの交点をP、同様に点Qと点Rを定めます。このとき
 となる定理です。


この定理を証明してみましょう。
証明

△AOBと△AOC

△AOBと△AOCに着目します。
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△AOBの面積は、
AO×BL÷2

△AOCの面積は、
AO×CM÷2

△AOB:△AOC=AO×BL÷2:AO×CM÷2=BL:CM

このとき、BL//CMなので、
BL:CM=BP:CP

よって
△AOB:△AOC=BP:CP

これを変形すると
 ー①

△AOCと△BOC

次に△AOCと△BOCに着目します。
さっきと同様にして

△AOC:△BOC=AR:RB

これを変形すると
 ー②

△BOCと△BOA

最後に△BOCと△BOAに着目します。

同様にして

△BOC:△BOA=CQ:QA

これを変形すると
 ー③


①×②×③をすると、



これを整理すると
 となりますね。

この定理は、公式だけを覚えても何の役にもたちません。
仮に文字がP、Q、RからD、E、Fにかわったら、きっと頭が混乱してしまうでしょう。必ず、図を通して覚えるようにしましょう。
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FTEXT
『教科書 数学A』 数研出版

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