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13_80 整数の性質 / 約数と倍数

正の約数の個数の求め方

著者名: OKボーイ
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はじめに

素因数分解を用いて、自然数Nの正の約数の個数を求めることができます。ここではその方法を紹介しましょう。

公式

自然数Nを素因数分解します。
自然数Nが



と表すことができるとき、その正の約数の個数は

(x+1)(y+1)(z+1)


で求めることができます。
例えば24の正の約数の個数を求めてみます。
24を素因数分解すると、

24=2×2×2×3=2³×3¹

これを先ほどの公式にあてはめてみると、24の正の約数の個数は

(3+1)(1+1)=4×2=8個

となります。では、これが正しいか確かめてみましょう。
24の約数を書き出していきます。

「1、2、3、4、6、8、12、24」

で8個。公式を使って求めた数と同じになりましたね。


ではもう1問解いてみます。
5400を素因数分解してみましょう。


5400
=2×2×2×3×3×3×5×5
=2³×3³×5²

ですね。このことから5400の正の約数の数は

(3+1)(3+1)(2+1)=48個

となります。

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『教科書 数学A』 数研出版

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