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14_80 高次方程式 / 2次方程式(判別式/係数の関係/数の大小)

方程式 解と係数の関係

著者名: OKボーイ
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はじめに

という方程式があります。
この方程式の解を としたときに次の法則が成り立ちます。

 …①

 …②


この公式を知っていると、2次方程式の計算が一段と楽になります。
ところで、なぜこの公式が成り立つのでしょうか。それを証明してみたいと思います。
証明

みなさんは、解の公式を覚えていますでしょうか?
そう、 の解 と は、


というものでしたね。便宜的に



としましょう。
これを実際に①と②の式に代入して計算してみましょう。


展開をすると、
となり、①の式が成り立つことが証明できます。

続いて②です
 は以下のように計算できます。



これを展開してくと、


②が成り立つことも証明できました。

では実際に問題を1つ解いてみましょう。
因数分解でも簡単に解けますが、今回はこの解と係数の法則を用いて解いてみてください。
 …③


この式の2つの解をそれぞれ としたときに解と係数の法則より
 …④
 …⑤

この④と⑤の連立方程式を解いていきます。
④を⑤に代入して計算式を解くと
は1または3、 は1または3と解がでてきます。
以上のことから、解は1と3になります。

実際に③を因数分解して解いてみると、答えが同じになります。
因数分解できるような2次方程式だといいのですが、計算のしにくい方程式の場合にはこの法則が重宝されます。
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『チャート式 数学ⅡB』 数研出版 
『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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