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12_80 図形と計量 / 三角形/多角形の面積・内接円/外接円・空間図形

多角形の面積を、三角比を用いて求める場合

著者名: OKボーイ
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多角形の面積

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上記のような正12角形の面積を求めよという問題があったとします。
このように一見難しそうな問題であっても、三角比を用いれば簡単に求めることができます。
補助線を引く

以下のように補助線を書き、便宜的に点A、点Bを決めます。
AO=BO=aとします。
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正12角形は、同じ面積の三角形が12個くっついてできた図形なので、三角形AOBの面積を求めてそれを12倍すればよいわけです。
三角比で三角形の面積を求める公式

三角比で三角形の面積を求める公式をみなさん覚えていますか?

 でしたよね。

この公式を使って三角形AOBの面積Sを求めます。
公式より  

となります。
ここで∠AOBについて考えてみましょう。
正12角形を形成する12個の三角形は、すべて合同な形をしていますので、角度や辺の長さはすべて同じになります。
ですので、
∠AOB=360°÷12=30°となり

となります。
ケアレスミスのないように!

最後に忘れないでおいてください!
この問題は正12角形の面積を求める問題です。
いま求めたのは三角形AOBの面積なので、これを12倍しなければ答えになりません。
せっかくここまで解いたのにうっかり最後を忘れて間違いになってしまったらもったいないです。
しっかりと最後まで意識を持つようにしましょう。

正12角形の面積は
 となります。


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『教科書 数学Ⅰ』 数研出版

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