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12_80 図形と計量 / 三角比の基本(正弦/余弦/正接)

鋭角のときの、三角比の公式の証明

著者名: OKボーイ
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三角比の公式

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(0°<α< 90°)

上のような三角形があるときに
【1】


【2】


【3】



の公式が成り立つとされています。
それぞれについて証明をしてみましょう。
前提条件

前提として0°<α< 90°という条件が与えられています。
当然、αの大きさが変化することによって用いる公式も変化してきますので、その都度覚えていかなければなりません。
それは今後の学習で出てくると思いますので今回は割愛します。

ここでは0°<α<90°

【1】

まず【1】の式についてです。sin、cos、tanの性質より以下の3つのことが言えます。
 …①
 …②
 …③

②と③を①に代入すると

となり、右辺のcを消せば

となり、【1】の式が成り立つことが証明できます。
【2】

続いて【2】の式の証明です。
みなさん、三平方の定理を覚えていますでしょうか?
そう!ピタゴラスの定理のことです。
三平方の定理とは、上記のような直角三角形の辺をそれぞれ「a」「b」「c」としたときに
が成り立つというものです。

ここでは、この三平方の定理と
 …④
 …⑤
の公式を使って証明を行います。

④と⑤の式を三平方の定理の公式に代入します。


展開をして

両辺を  で割ると


となり、【2】が成り立つことが証明できます。
【3】

最後に【3】の式の証明です。
これを証明するためには、【1】の式を用います。
【1】より


なので、これを【3】の右辺、すなわち
に代入します。すると





…⑥
となります。ここで【2】の式より


なので、これを⑥に代入します。
よって

が成り立つことが証明できます。
まとめ

いかがでしたでしょうか?
公式は仮に忘れてしまっても、このように自力で導きだすことができます。
学年が上がるに連れて、三角比の問題は応用がたくさんできてきますので、今のうちに何度も解いて基礎をしっかりと固めておきましょう。


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『教科書 数学Ⅰ』 数研出版

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