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12_80 図形と計量 / 正弦定理・余弦定理

余弦定理の証明

著者名: OKボーイ
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余弦定理

余弦定理とはとある三角形ABCがあるときに成り立つ




の公式のことを言います。この定理が本当になりたつのか、例をとって証明してみましょう。ここでは、



の式を証明します。
cosAの値は、Aの角度が鋭角直角鈍角によって変化するのでこの3パターンにわけて考えます。

1:Aが鋭角の場合

まずAが鋭角の場合で、次のような三角形があるとします。
ALT


辺CBをa、辺CAをb、辺ABをcとします。
また∠Aと∠Bは共に鋭角で、CHとABは垂直に交わっています。

まず三角形ACHで考えたときに
 
すなわち…①となります。

続いて、辺BHについて考えます。
 …②

また三角形ACHで考えたときに
 
すなわち…③

これを②に代入して
…④ となります。

ここで三角形BCHにおいて 三平方の定理(ピタゴラスの定理)を当てはめます。(三平方の定理がわからない人は、各自確認をするようにしておいて下さい。)

三平方の定理より
が成り立ちます。
この式に②と④を代入すると
 

となります。これを展開していきましょう。

右辺を展開すると


これを整理していくと
…⑤

となります。

ここでおや!?っと思われた方もいらっしゃるでしょう。


にどこか見覚えはありませんか?そうです、三角比の性質

というものがありましたね。これを⑤に代入します。

すると、
を導くことができます。

次:Aが直角

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『教科書 数学Ⅰ』 数研出版

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