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15_80 数列 / 等比数列

等比数列を使って、貯金の積立を考える

著者名: OKボーイ
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等比数列を使った問題の中で、貯金のように貯まっていくお金を計算する問題がよく出題されます。例えば次のような問題です
毎年a円ずつ積み立てています。1年預けるとrの利息がつきます。このとき、n年後にはいくらお金がたまっているかを考えてみましょう。

問題へのアプローチ方法

1年目、2年目、3年目・・・n年目には毎年いくらお金が預けるのか預けたお金はいくらになっているのかを考えてみましょう。
解法

まず、1年目に預けたお金が2年目にはいくらになるのか、2年目に預けたお金が3年目にはいくらになるのか、3年目に預けたお金は4年目にはいくらになるのかを考えます。

○1年目
 円
a円預けて1年間でrの利息がつくので、1年目のお金は2年目が始まる頃にはa(1+r)円になります。

○2年目
まず、毎年a円は必ず預けるので、2年目にもa円を預けます。この預けたa円は、2年目が終わる頃にはa(1+r)円となっています。
そしてこれとは別に、1年目に預けたお金にも利息がついてきます。
1年目に預けたお金は2年目が始まる頃にa(1+r)円となっていましたが、このお金は3年目が始まる頃にはさらにrの利息がついて
 円となっていますね。

2年目までに預けたお金の総額は
 円になります。

○3年目
3年目も同様にして、預けたお金の総額は
 円になります。


つまり、このことからn年目までに預けたお金の総額は

の合計です。この等比数列の和を考えれば、n年目までに預けたお金の合計金額がわかりますね。
 を最初の項目、  を最後の項目、1+rを公比とすると


が求める金額の合計となります。

このように利息の計算をするのも等差数列の特徴です。
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『チャート式 数学ⅡB』 数研出版

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