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15_80 数列 / 数学的帰納法

数学的帰納法の基本的な考え方②

著者名: OKボーイ
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前回は数学的帰納法という証明方法について説明をしましたね。
数学的帰納法の基本的な考え方①
今回はその続きです。
すべての自然数nについて、
…①
であることを証明してみましょう。

この問題の解法を示しましょう。
考え方については前回のテキストを参照してください。
1:n=1のとき

n=1のとき


よって①が成り立つことがわかります。
2:n=mのとき

n=mのとき①が成り立つと仮定します。つまり
 …②
が成り立っていると仮定します。

このうえで、n=m+1のときに①が成り立つかどうかを証明します。つまり
 …③
が成り立つかどうかを証明するわけですね。



②より、  なので






となり、③の右辺と同じになりましたね。
以上のことから、n=mのときに①が成り立つと仮定すると、n=m+1のときにも①が成り立つことがわかりました。
数学的帰納法からすべての自然数nについて①が成り立つことが証明されたことになります。
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・数学的帰納法の基本的な考え方②

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『教科書 数学B』 数研出版
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