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15_80 数列 / 数学的帰納法

数学的帰納法の基本的な考え方①

著者名: OKボーイ
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数学的帰納法とは

数学的帰納法を使って証明するとは
1:まず出発点となる命題を証明する
2:直前の命題が正しければ、次の命題も正しいことを証明する

この2つを証明することで、すべての場合において命題が正しいことを証明する手法です。
例題を使って考えてみましょう

すべての自然数nについて、
 …①
であることを証明してみましょう。


n=1、2、3のときに①が満たされるかどうかを考えてみます。
○n=1のとき 左辺=右辺=2
○n=2のとき、左辺=右辺=8
○n=3のとき、左辺=右辺=20

と確かに、n=1、2、3のとき①は成り立つことがわかります。
しかしn=4以降のことを証明したわけではないので、①がすべての自然数について成り立つかどうかを証明したことにはなりません。
もっと言うと、すべての自然数について1つずつみていくのは不可能です。

ここで役に立つのが、数学的帰納法の考え方です。
数学的帰納法

とある自然数mがあるときに、①が成り立つと仮定しましょう。このときにmの次の自然数m+1のときにも①が成り立つことがわかればどうでしょうか。

すでにn=1のときに①が成り立つことが証明されているので、n=1の次の数、n=2のときにも①が成り立つことがわかります。n=2のときに①が成り立てば、n=3のときにも、n=3で成り立てばn=4のときにも①が成り立つと、すべての自然数が①を満たすことが証明されますね。

このようにして、まず最初の命題を証明する(この場合はn=1のとき)、そしてn=mのときに命題が成り立てばn=m+1のときにも命題が成り立つことを証明することで、命題がすべての条件において成り立つことを証明できます。
これが数学的帰納法の考え方です。


この例題の解法は次回のテキストで説明しましょう。

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・数学的帰納法の基本的な考え方①

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『教科書 数学B』 数研出版
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