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13_80 図形の性質(平面図形/空間図形) / 円と直線(接弦定理/方べきの定理/共通接線)

方べきの定理の証明

著者名: OKボーイ
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方べきの定理

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方べきの定理とは、2つの弦の延長線上の交点をPとするとき
PA×PB=PC×PDが成り立つことを言います。

この定理を証明してみましょう。
証明

まず、△ACPと△BDPにおいて、円に内接する四角形のある角と、向かい合う角の外角の大きさが等しいことから
∠CAP=∠BDP、∠ACP=∠DBPとなります。

つまり△ACPと△BDPは3つの角の大きさが同じなので、相似の関係にあることがわかります。
よって以下のことが言えます、
AP:CP=DP:BP

ゆえに、PA×PB=PC×PD が成り立つことがわかりますね。
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『教科書 数学A』 数研出版

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