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13_80 図形の性質(平面図形/空間図形) / 円と直線(接弦定理/方べきの定理/共通接線)

接弦定理の証明

著者名: OKボーイ
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接弦定理の証明

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図1のように円の中に三角形が存在し、かつ点Bで円に接する接線を引き、接線上に点Dをおきます。このとき、∠BAC=∠CBDになるのが接弦定理でしたね。
これを証明してみましょう。この証明は、以下の3つのパターンにわけて行います。

・∠BACが鋭角の場合
・∠BACが直角の場合
・∠BACが鈍角の場合

∠BACが鋭角の場合

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∠BACが鋭角のとき、点Bから点Oを通る直径を引き、円との交点をPとします。
このとき、∠BAC=∠BPCですね。 …①
またBPは直径なので、△BCPにおいて∠BCP=90°となることから、
∠BPC+∠PBC+∠BCP=180° 
すなわち、∠BPC+∠PBC=90°となります。
これを変形して、∠BPC=90°-∠PBC …②

一方で、∠PBD=90°より(接線なので)
∠PBC+∠CBD=∠PBD=90°となります。
これを変形して、∠CBD=90°-∠PBC …③

②と③より、∠BPC=∠CBD であることがわかります。
①より∠BAC=∠BPCなので
∠BAC=∠CBDとなりますね。

次:∠BACが直角の場合

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『教科書 数学A』 数研出版

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