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13_80 図形の性質(平面図形/空間図形) / 三角形の定理(中線定理/メネラウスの定理/チェバの定理)

中線定理の証明

著者名: OKボーイ
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中線定理とは

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中線定理とは、図の△ABCにおいて辺BCの中点をMとするとき、

であるというものでした。
中線定理の証明

これを証明してみましょう。

まず、頂点Aから辺BCに垂線を下ろし、その交点をHとします。
△ABHに三平方の定理をあてはめると、
  …①
△ACHに三平方の定理をあてはめると、
  …②

①+②より   …③

一方で、BH=BM+MH、CH=CM-MH、またBM=CMより


  …④

④を③に代入して

△AMHにおいて三平方の定理より
 より⑤の式は

となり、定理の式が導けましたね。

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『教科書 数学A』 数研出版
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