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12_80 数と式/集合 / 集合と命題

ド・モルガンの法則(定理)の証明

著者名: OKボーイ
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ド・モルガンの法則(定理)

ここでは、ド・モルガンの法則(定理)についての説明、そして証明をしてみたいと思います。
ド・モルガンの法則(定理)とは

ド・モルガンの法則(定理)とは、集合AとBとがあるとき
 …①
 …②

言葉に表すと
①は、「AもしくはB」でないならば、AではないかつBではない。
②は「AかつB」でなければ、AではないまたはBではない


これがド・モルガンの定理と呼ばれるものです。
証明

①の定理

それではこれらを証明してみましょう。
図1
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まず、 は、図1の斜線部になります。
よって は図②の斜線部になります。
図2
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また、 、  はそれぞれ図3と図4の斜線部になります。
図3
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図4
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これらから、の示す部分は図5となります。
図5
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先ほどに図2と一致しましたね。以上のことから①の定理が証明できました。

②の定理

続いて②の定理の証明をしましょう。
まずは図6の斜線部になるので、は図7の斜線部になります。
図6
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図7
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は、先程の定理①で使用した図3と図4になります。このことからは図8のようになります。
ALT



図7と図8が一致しましたね。
よって②の定理も証明ができました。

これがド・モルガンの定理です。
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FTEXT
『教科書 数学A』 数研出版

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