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14_80 微分 / 微分:関数のグラフと方程式・不等式

導関数を用いた不等式の証明

著者名: OKボーイ
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不等式の証明

導関数を用いて、 のとき、  が成り立つことを証明してみましょう。

考え方

とし、x≧0のときf(x)≧0であることを証明すればよい。

解法

 をxについて微分すると


これを増減表に表すと次のようになります。
ALT


xには範囲があるので、左端が0で切れていることに注目してください。
このことから、グラフは次のようになります。
ALT


グラフから明らかのように、f(x)は、x≧0の範囲において、f(x)≧0ですね。このことより
 は成り立つといえます。

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『チャート式 数学ⅡB』 数研出版
『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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