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14_80 微分 / 微分:最大値・最小値

最大最小値を使って箱の体積を求める

著者名: OKボーイ
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箱の体積を求める

「微分の最大最小値っていったい何の役にたつの!?」と思われるかもしれませんが、次のような問題に応用できます。

図のように1辺が6cmの正方形の4隅から、合同な正方形を切り取ってふたのない箱を作ります。このとき箱の容量を最大にするには切り取る正方形の1辺を何cmにしたらよいでしょうか

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下準備

このような場合にも微分の考え方が役に立ちます。
まず、切り取る正方形の1辺をxcm、箱の容積をVとすると次の式が成り立ちます。


xの範囲について考えてみましょう

ここで、xの範囲について考えてみましょう。
箱の1辺はプラスでなければなりませんので、当然x>0です。
そしてもう1つ、6-2xもまたプラスでなければなりませんね。
6-2x>0 整理してx<3
よってxの範囲は、0<x<3 でなければなりません。

微分の登場

ここで微分が登場です。
Vをxで微分すると

とすると、x=1、3が導き出せます。

増減表の作成

ここで増減表を作ってみましょう。
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増減表よりx=1のときにVは極大値であり最大値16をとりますね。

このように、微分を使った最大最小値は応用ができます。
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・最大最小値を使って箱の体積を求める

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『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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