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14_80 微分 / 平均変化率・極限値

極限値とは

著者名: OKボーイ
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極限値

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関数f(x)において、(x=aでなないうえで)xの値がどんどんaに限りなく近づいていくとします。
これにあわせてf(x)の値もとある一定の値、αに近づくことになります。このとき、f(x)が限りなく近づくαの値のことをf(x)の極限値と言います

この状態のことを数式で以下のように表します。
 
または、x→a のとき、 f(x)→α とも書きます

xがaに近づくとき、f(x)はαに近づいていくということですね。
aとαを混同させないように注意しましょう。
例をみてみよう

f(x)=x+1のとき、
 …① がどうなるのかをみてみましょう。

①の意味することは、xが限りなく1に近づくとき、f(x)はどの値に近づいていくでしょうかということです。

例えば、xを0.9からスタートして、0.99、0.999と1に近づけていくとf(x)の値はどうなるかを下にまとめてみました。
0.90.990.999
f(x)1.91.991.999

f(x)は2に近づいていることがわかります。

また逆に、xを1.1からスタートして、1.09、1.08、1.07と近づけると次のようになります。
1.091.081.07
f(x)2.092.082.07

これも同じように2に近づいていますね。


以上のことから、 であることがわかります。

普段はこういう面倒くさいことをせずに、x=1をf(x)に代入して、その値をf(x)の極限値としてしまえばいいのですが、本来の考え方はこうなんだと覚えておいてください。
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『教科書 数学Ⅱ』 数研出版
『チャート式 数学ⅡB』 数研出版
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