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14_80 三角関数 / 加法定理/倍角の公式

加法定理 正接

著者名: OKボーイ
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加法定理の証明

前回と前々回とで、正弦と余弦の加法定理の証明を行いました。
今回は最後、正接の加法定理の証明を行います。
加法定理

まず、正接の加法定理とは次のようなものです。
 …①
 …②
証明

それではまず、①の公式の証明を行なっていきましょう。
  という三角比の公式より
  となります。

これに、正接と余弦の加法定理を当てはめると




この式の分母と分子を「cosαcosβ」で割ると

  …③

三角比の公式より


なので、これらを③に代入すると

となり、①の式が成り立つことがわかりました。

そして、①の公式において「β」を「-β」におきかえると
  より
②の式も成り立つことがわかります。
さいごに

以上3回にわたって加法定理の証明を行ってきました。
この証明自体をさせることは試験ではあまりありませんが(学校の試験では出るかもです)、自分で公式を導けるということが非常に大切です。
何度も繰り返して、自分のものにしておきましょう。
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・加法定理 正接

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『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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