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14_80 三角関数 / 加法定理/倍角の公式

sin(α+β)=sinαsinβ+cosαcosβ 加法定理の証明

著者名: OKボーイ
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前回のおさらい

前回は加法定理の中でも
 
 
の2つの定理について証明をしました。今回はその第2回目です。
ここでは
  …①
  …②
について証明をしていきましょう。
証明

前回の証明で
 
であることがわかりました。この両辺のαを
 で置き換えてみます。
左辺は
  
右辺は
 

ここで思い出してみてください。


という公式がありましたね。

この公式でθをα+βと考えると左辺の式は
  …③となります。

同じように右辺の式を考えると
  において


ですので、これらを右辺の式に代入して整理をすると
  …④

③=④より

であることがわかります。
②の式については、余弦の証明のときと同じように、「β」を「-β」に置き換えて考えれば導きだすことができます。


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・sin(α+β)=sinαsinβ+cosαcosβ 加法定理の証明

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『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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