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14_80 三角関数 / 加法定理/倍角の公式

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 加法定理の証明

著者名: OKボーイ
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加法定理の証明

正弦(sin)と余弦(cos)には加法定理という法則が存在します。


  …①
  …②
  …③
  …④

まずは①と②の証明をしてみましょう。
証明

ALT


まず図のように、αとβ、そして点Aと点Pをとります。
このときPの座標はP((cos(α+β),sin(α+β))となりますね。
ここでAPの長さに注目をします。


これを展開して整理すると
  …⑤

続いて次の図を見てください。
ALT


先ほどの図形を点PとAを、原点を中心に-αだけ回転させたものになります。
このときQとRの座標は
Q(cosβ,sinβ)、R(cosα,-sinα)となります。
ここでも、先ほどと同じようにQRの長さに注目します

これを展開して整理すると
  …⑥


△OAPと△ORQは合同な三角形なので
 です。
⑤と⑥を用いて


これを展開して整理すると

が成り立つことがわかりますね。

ここで①の式において、「β」を「-β」に置き換えて考えてみましょう。

の「β」を「-β」に置き換えると
  となりますが

,
ですのでこの式は

となり、②も成り立つことがわかりました。


③と④の証明は次回行いましょう。
まずはこのコサインの公式を導けるように自分で解き直してみてください。

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・cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 加法定理の証明

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『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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