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14_80 三角関数 / 三角関数

弧度を利用した扇の弧の長さと面積の求め方

著者名: OKボーイ
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弧度を使って弧の長さと面積を求める

半径がrで中心角がθの扇の弧の長さをl、面積をSとしましょう。
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扇の弧の長さ

ちょっと思い出してください。円の弧の長さは、2×π×rで求められましたよね。そして弧度法の場合、円1周の角度は2πで表すことができます。
2πの角度のときにその弧の長さ(すなわち円周は)2πrですが、角度がθのときはどう表せるでしょうかというように考えます。

2π:2πr=θ:l これを整理して
=rθ…①(ただしθは弧度法で表したものに限る)

扇の面積

続いて扇の面積について考えてみましょう。
円の面積はr×r×πで求められました。
先ほどと同じように考えます。
2πの角度のときにその面積はr×r×πです。では角度がθのときはどうなるでしょうか。
2π:r×r×π=θ:S これを整理すると
…②(ただしθは弧度法で表したものに限る)


また、①と②から
 を導くことができます。

これらの計算式は弧度法のときのみですので気をつけてくださいね。

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『チャート式 数学ⅡB』 数研出版
『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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