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14_80 円 / 円:軌跡の方程式

アポロニウスの円

著者名: OKボーイ
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アポロニウスの円とは

mとnが異なる正の数のとき、2つの点AとBからの距離がm:nである点Pの軌跡は、線分ABをm:nに内分する点と、線分ABをm:nに外分する点を直径の両端とする円になります。この円のことを アポロニウスの円と言います。

2つの点A(1,0)とB(4,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求めてみましょう。

点PをP(a、b)とおいたとき、AP:PB=2:1であればよいということですね。


AP:PB=2:1より、AP=2PB よって
 …①
あとはAPとPBを求めて①に代入しましょう。




これらを①に代入して


展開すると


 …②

ゆえに、条件を満たす点は②上にあるます。逆に②上の任意の点Pは、計算を遡ると問題の条件を満たすことがわかります。
よって、求める点Pの軌跡は(5,0)を中心とする半径2の円となります。
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『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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