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14_80 円 / 円:軌跡の方程式

点の軌跡 part2

著者名: OKボーイ
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点の軌跡を求める

先ほど述べた4つのステップを使って次の問題を解いてみましょう。
点A(-2,0)とB(2,0)からの距離の2乗の和が10である点Pの軌跡を求めなさい


臆することはありません。先ほどのステップをみながら問題を読みといていきましょう。
1:問題文の任意の点をP(x,y)などで表す

まずは点Pの座標を任意に仮定しましょう。点P(x,y)とおきます。
2:問題文で与えられたとおり、座標の関係を式で表す

問題に書いてあるとおり、座標の関係を式で表してみましょう。
AとBからの距離2乗の和が10ということですので
 …①
と式が作れますね。
3:2で表した関係式を使って、軌跡の方程式を求める

点A、B、Pの座標を使えばAPとPBの長さを求められます。



これらを①に代入して





お、円の方程式になりましたね。
4:その図形状の点が条件を満たしていることを確かめる

具体的には次の2つのことを証明します。
その条件を満たす任意の点Pは図形上にある

今の計算式によって、設問の条件を満たす点Pは必ず 上にあります。
図形状にある任意の点Pは、その条件を満たす

一方で、今の計算を逆にたどれば、 上の点は必ず設問の条件を満たすことがわかります。

よって、求める点の軌跡は原点を中心とする半径1の円となります。

以上のように、4つのステップで解いていきます。
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・点の軌跡 part2

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『チャート式 数学ⅡB』 数研出版

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