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14_80 円 / 円と直線の関係

円と接する直線の方程式

著者名: OKボーイ
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円と接する直線の方程式の求め方

 上の点P(a,b)でこの円に接する直線の方程式は
 で表すことができます。

これを証明してみましょう。
下図のように、原点を中心とする半径rの円と、点P(a,b)で円と接する直線lがあります。
ALT


まず、直線OPについて考えます。このOPは原点Oと点P(a,b)を通る直線ですので、その傾きは
 となります。

ここで、この直線OPとlは垂直に交わっていますので、直線lの傾きが求まりますね!互いの直線の傾きの積が-1になるように、直線lの傾きを求めると
 となります。

傾きがわかり、この直線は点P(a,b)を通ることから、この直線の方程式は
 整理して
 …①となります。


次にフォーカスするのは、点Pが円上の点であるということです。このことから
 …②であることがわかります。

①と②より となりましたね。

たとえこの式を忘れてしまっても自分で導き出せるように、何度も解き直しておきましょう!


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『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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