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14_80 円 / 円と直線の関係

判別式を使った応用問題

著者名: OKボーイ
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はじめに

実際に問題を通して、円と直線の交点の関係について学びましょう。
問題

円:  …①
直線: …②

という円と直線があります。この円と直線が2ヶ所で交わる場合、1箇所で接する場合、1箇所とも交わらない場合のkの値の範囲を求めなさい。
考え方

・①と②の式を連立させて、 の形をつくる。
・出来上がった方程式に判別式Dを適応させ、その範囲を考える
解答

まず、②を①に代入しましょう。

 展開させて


この式に判別式Dを適応します。

D>0のとき

D>0のとき、円と直線の交点は2つになります。




このときに、円と直線は2点で交わります。
D=0のとき

D=0のときに、円と直線は1点で接します。
 これを解いて

このときに円と直線は1点で接します。
D<0のとき

D<0のとき、円と直線は1つも交わりません。
 これをといて

このときに、円と直線の交点はなしになります。

以上のように、円と直線の交点の数を調べるときにも判別式は有用です。

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『チャート式 数学ⅡB』 数研出版
『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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