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14_80 点と直線 / 点と直線の距離

任意定数をもつ直線について考える

著者名: OKボーイ
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任意の定数にかかわらず、必ず定点Aを通る

(3kー2)y=(2k+1)x+3 …①は、実数kの値にかかわらず、定点Aを通ることを示し、また点Aの座標を求めなさい

考え方

kの値にかかわらずということは、kがどんな値でもということ。
なので、①に適当なkの値を代入してそれらの式が交わる点を求める。これが求めるべき点Aとなる
解法

まずは、計算を楽にするためにk=0、k=1を代入してみましょう
k=0のとき

k=0を代入して整理をすると、①は 
x+2y+3=0 …② となります。
k=1のとき

k=1を代入して整理をすると、①は
3x-y+3=0 …③ となります。
2直線の交点を求める

次に②と③の交点の座標を求めます。
②+③×2より


②×3-③より


問題は①式が  を必ず通るかどうかです。
①式にこの点の座標を代入して、左辺=右辺となれば、kの値にかかわらず①はこの点を通るということになります。つまり、それが求めるべき点Aとなります。

①式に
 を代入します。
左辺は


右辺は


左辺=右辺。
このことから①の直線は、実数kの値にかかわらず

を通ることになります。

そしてこの点が求めるべき点Aです。

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『チャート式 数学ⅡB』 数研出版

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