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14_80 点と直線 / 点と直線の距離

点と直線の距離(原点から直線の場合)

著者名: OKボーイ
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原点Oから直線lまでの距離

原点Oから直線l:ax+by+c=0 に垂直に垂線を下ろしたとき、その垂線の長さを求めてみましょう。

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まずは直線OHの傾きを求める

原点Oからの垂線と、直線lの交点の座標をH(p,q)とします。
このときOHとlとは垂直に交わっているので、OHの傾きとlの傾きとの積が-1になります。
このことを利用して解答をすすめてみましょう。
直線 ax+by+c=0 は変形すると
となりますので、傾きは です。
また、OHの方程式を便宜的にy=mxとします。このとき

よって、   となりますのでOHは

と表すことができます。
フォーカスを点Hに

ここで点H(p,q)について考えてみましょう。点Hは2つの直線、OHとlとの交点であることからx=p、y=qをそれぞれの方程式に代入して

ap+bq+c=0 …①
aq-bp=0 …②   が求まります。
pについて整理

まず、pについて整理してみましょう。
①式は ap=-bq-c
 …③

②式は bp=aq
 …④

③と④の連立方程式を解いて
 …⑤ となります。
qについて整理

①より
 …⑥

②より
 …⑦

⑥と⑦より
 …⑧
△OAHを考える

次に、点Hからx軸に垂線を下ろし、その交点をAとします。
△OAHにおいて∠OAH=90°より、ピタゴラスの定理が使えます。


OA=p、AH=qより
 となりますので、これに先ほどもとめた⑤と⑧を代入します。


OH>0より






これが、原点Oから直線l:ax+bx+c=0 の距離を求める公式です。
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・点と直線の距離(原点から直線の場合)

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『チャート式 数学ⅡB』 数研出版
『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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