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14_80 点と直線 / 垂直/平行な2直線

2つの直線が垂直になる条件a1a2+b1b2=0の証明

著者名: OKボーイ
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2つの直線が垂直に交わるとき

前回のテキストで、2つの直線が垂直に交わるとき、2つの直線の傾き  と  が
 となることを学びました。

2直線が垂直であるかを確かめるには実はもう1通りの方法があります。
 …①
 …②

という2つの直線があったとき
 …③
が成り立てば、①と②は垂直に交わります。

これを証明してみましょう。
証明

まず、①と②の式をそれぞれ変形させて



前回のテキストより、2つの直線が垂直に交わるためには、2直線の傾きの積が-1であればよかったですので、①と②が垂直に交わるためには


であればいいということになりますね。
この式を展開して整理すると

が成立することがわかります。
実例

例えば
 …③
 …④
は、直線の傾きの積が-1になるので、垂直に交わります。
これを今回学習した定理で考えてみます。③と④を変形させると



これを今回の定理に当てはめると

が成り立ちます。

どちらの方法でも、2直線が垂直に交わることがわかりましたね。



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・2つの直線が垂直になる条件a1a2+b1b2=0の証明

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『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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